Respuesta:
2 c).
Explicación paso a paso:
Tema: PROPIEDADES TRIGONOMÉTRICAS.
Recuerda lo siguiente. ↓
[tex]\mathbb{PROPIEDADES\:TRIGONOM\'ETRICAS}[/tex]
Solo son dos y son:
[tex]\mathbb{PROPIEDAD\:REC\'IPROCA}[/tex]
Nos dice que si dos R.T. recíprocas se están multiplicando y su resultado es la unidad, se cumple que sus ángulos de ambas R.T. deben ser el mismo.
- [tex]\text{Sen}\alpha \times\text{Csc}\alpha =1[/tex]
- [tex]\text{Cos}\alpha \times\text{Sec}\alpha =1[/tex]
- [tex]\text{Tg}\alpha \times\text{Ctg}\alpha =1[/tex]
[tex]\fbox{Nota}[/tex]
- La razón Seno(Sen) es recíproca de la razón Cosecante(Csc) y viceversa.
- La razón Coseno(Cos) es recíproca a la razón Secante(Sec) y viceversa.
- La razón Tangente(Tg) es recíproca a la razón Cotangente(Ctg) y viceversa.
[tex]\mathbb{PROPIEDAD\:COMPLEMENTARIA}[/tex]
Nos dice que si dos R.T. complementarias se están sumando por propiedad ambos ángulos de las R.T. deben sumar 90°.
- [tex]\text{Sen}\alpha =\text{Cos}\beta \longrightarrow \alpha +\beta =90[/tex]
- [tex]\text{Tg}\alpha =\text{Ctg}\beta \longrightarrow\alpha +\beta =90[/tex]
- [tex]\text{Sec}\alpha =\text{Csc}\beta \longrightarrow\alpha +\beta =90[/tex]
[tex]\fbox{Nota}[/tex]
- La razón Seno(Sen) es complementaria a la razón Coseno(Cos) y viceversa.
- La razón Tangente(Tg) es complementaria a la razón Cotangente(Ctg) y viceversa.
- La razón Secante(Sec) es complementaria a la razón Cosecante(Csc) y viceversa.
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[tex]\textsc{Resolviendo el ejercicio}[/tex]
[tex]\text{Sen}(x+20).\text{Csc}(3x+10)=\text{Sec}60-\text{Tan}45[/tex]
- [tex]\text{Sec}60=\dfrac{2}{1} =2[/tex]
- [tex]\text{Tan}45=\dfrac{1}{1} =1[/tex]
[tex]\text{Sen}(x+20).\text{Csc}(3x+10)=2-1[/tex]
[tex]\text{Sen}(x+20).\text{Csc}(3x+10)=1[/tex]
- Sen y Csc se están multiplicando y el resultado de esta multiplicación es uno, por lo que son R.T. recíprocas y por propiedad los ángulos de ambas R.T. deben ser iguales.
[tex](x+20)=(3x+10)[/tex]
[tex]x+20=3x+10[/tex]
[tex]2x =10 \longrightarrow x =5[/tex]
Hallemos lo que nos pide.
[tex]\text{M}=\dfrac{\text{Sen}8x+\text{Cos}10x}{\text{Sen}{(35+x)} }[/tex]
- Reemplazamos el valor de "x".
[tex]\text{M}=\dfrac{\text{Sen}8(5)+\text{Cos}10(5)}{\text{Sen}{(35+5)} }[/tex]
[tex]\text{M}=\dfrac{\text{Sen}40+\text{Cos}50}{\text{Sen}{40} }[/tex]
- Como hay dos Sen40 lo que vamos a hacer es convertir el Cos50 a Sen. Para poder convertir utilizamos R.T. complementarias. [tex]\text{Cos}50= \text{Sen}40[/tex]
[tex]\text{M}=\dfrac{\text{Sen}40+\text{Sen}40}{\text{Sen}{40} }[/tex]
[tex]\text{M}=\dfrac{\text{2Sen}40}{\text{Sen}40} =2[/tex]
