La media aritmética es de 1.5, la varianza es de 0.75 y la desviación estándar es de 0.86, aproximadamente.
Explicación:
La familia planea tener 3 hijos y se asume que en cada oportunidad tienen 1/2 de probabilidad de tener varón y 1/2 de probabilidad de tener hembra.
Definimos la variable aleatoria
x = números de hembras que tiene la familia
x puede tomar los valores 0, 1, 2, 3 y la probabilidad de cada uno será el producto de las probabilidades de los resultados en cada caso, es decir, 1/2 elevado a la tres, o sea, 1/8.
Hay 8 resultados posibles de los tres partos: un resultado con 3 hembras, 3 resultados con 2 hembras y 1 varón, 3 resultados con 1 hembra y 2 varones y 1 resultado con 3 varones (0 hembras).
a) La distribución de probabilidad de x será:
[tex]\bold{\huge{\begin {array}{c|c|c|c|c}\underline{x}&\underline{0}&\underline{1}&\underline{2}&\underline{3}\\P(x)&\frac{1}{8}&\frac{3}{8}&\frac{3}{8}&\frac{1}{8}\end {array}}}[/tex]
b) Media, varianza y Desviación Estándar se calculan por las fórmulas:
Media aritmética
[tex]\bold{\overline{x}~=~\Sigma x\cdot P(x)~=~(0)(1/8)~+~(1)(3/8)~+~(2)(3/8)~+~(3)(1/8)~=~1.5}[/tex]
Matemáticamente, el resultado de la media es 1.5 hembras; pero eso no es posible. Lo lógico sería pensar en 1 o 2 hembras. Esos son los valores de la moda de la distribución, la cual es posiblemente la mejor medida de tendencia central en este caso.
Varianza
[tex]\bold{\sigma^2~=~\Sigma x^2\cdot P(x)~-~(\overline{x})^2}[/tex]
[tex]\bold{\sigma^2~=~[(0)^2(1/8)+(1)^2(3/8)+(2)^2(3/8)+(3)^2(1/8)]~-~(3/2)^2~=~0.75}[/tex]
Desviación Estándar
[tex]\bold{\sigma~=~\sqrt{\sigma^2}~=~\sqrt{3/4}~\approx~0.86}[/tex]
La media aritmética es de 1.5, la varianza es de 0.75 y la desviación estándar es de 0.86, aproximadamente.
